La réalité des objets mathématiques
Les objets mathématiques existent-ils dans un "espace mathématique" ou seulement dans nos têtes ?
D'un côté, affirmer que les objets mathématiques existent absolument semble étrange. Toute chose n'a-t-elle pas sa source dans l'immanence ? Pourtant il existe de bons argument pour s'opposer à une vision "sensualiste" des mathématiques. Ainsi face à l'idée que les nombres ne seraient que l'agrégat de nos expériences, Cassirer (dans "substance et fonction") oppose des arguments forts, et effectivement, on voit mal comment l'édifice entier des mathématiques et sa rigueur pourraient n'être que des intuitions empiriques.
En fait Cassirer montre bien qu'il faut comprendre les objets mathématiques non pas comme des entités mais plutôt comme des opérations, des méthodes de construction. Le nombre entier, par exemple, n'existe qu'en vertue de la relation d'ordre et de l'opération qui nous permet de construire la suite de ces nombres. Il n'est au fond que cette relation d'ordre, indépendamment de ce qui est relié. En ceci Cassirer rejoint parfaitement Dewey (dans "La logique") qui distingue les concepts génériques, ne faisant que regrouper un certain nombre d'éléments en vertu de leur similitude, comme les espèces animales (et dont l'exhaustivité est tout au plus contingente : on pourra toujours découvrir une nouvelle espèces d'oiseaux) des universaux (tel le triangle, dont on peut connaitre exhaustivement les éléments ou sous-classes par déduction). Dewey affirme que les universaux ne concernent pas le perçu ou les sensations directement, mais les opérations de l'enquête scientifique en tant que tel.
Ainsi le concept de "trois" ne correspond pas à une quelconque réalité, mais à la possibilité, étant donné son application supposée à une situation ("je me trouve devant trois objets"), de supprimer un élément pour n'en obtenir plus que deux, ou encore d'en ajouter un pour en avoir quatre (appliquant ainsi un nouveau concept à la nouvelle situation), de compter ces éléments, de les associer deux à deux aux éléments d'un autre groupe de même cardinal, et ainsi de suite. Toutes ces possibilités d'actions sont ordonnée par les mathématiques. Une théorie scientifique vaut alors non pas pour une description du réel, mais pour l'ordonnancement des actions possibles sur le monde et ce qu'on peut en attendre en retour (si je plonge un métal dans l'acide, il va se produire telle réaction, ...), et on peut concevoir les mathématiques (ou "la mathématique") comme en quelque sorte la théorie de la façon dont on peut construire des théories, on encore la théorie des théories possibles.
Dewey s'oppose donc à l'idée que les concepts mathématiques existeraient dans un "monde des idées", et seraient appliqués imparfaitement dans la réalité. Il n'existe pas d' "idée du cercle" mais plutôt des moyens de construire ou mesurer la "circularité" d'un objet. Rien ne s'oppose donc à l'idée que les concepts mathématiques n'existent "que dans nos têtes" pour peu qu'on rejette l'idée naïve qu'ils seraient issus de notre perception du monde : ils caractérisent en fait notre action sur le monde perçu. S'il est possible de retrouver à l'identique les raisonnements mathématiques, ce qui laisse penser que les objets mathématiques "pré-existent" à notre pensée, ce ne serait qu'en vertu des contraintes qui pèsent sur les façons d'interagir avec le monde, sur les différentes façons de réguler et d'ordonner nos pensées et nos actions.
L'élément qui me parait important est l'aspect dynamique de la conceptualisation (Nous avions évoqué dans un récent billet le fait que la logique constituait un idéal dénué de temporalité, d'où les paradoxes logiques). Pour dewey, les concepts ne portent pas sur une réalité statique mais sur des actions possibles. Pour Cassirer, ils sont des relations, mais au fond, la mise en relation d'objets est elle même un principe actif. On voit alors que l'écoulement du temps est un prérequis essentiel à la conceptualisation, qu'il ne peut exister de conceptualisation sans une dynamique, et que l'aspect statique et atemporel de nos théories et systèmes est au fond illusoires, puisque ces théories et systèmes dans leur ensemble ne sont destinés qu'à être appliqués à une réalité dont le temps s'écoule en permanence.
D'un côté, affirmer que les objets mathématiques existent absolument semble étrange. Toute chose n'a-t-elle pas sa source dans l'immanence ? Pourtant il existe de bons argument pour s'opposer à une vision "sensualiste" des mathématiques. Ainsi face à l'idée que les nombres ne seraient que l'agrégat de nos expériences, Cassirer (dans "substance et fonction") oppose des arguments forts, et effectivement, on voit mal comment l'édifice entier des mathématiques et sa rigueur pourraient n'être que des intuitions empiriques.
En fait Cassirer montre bien qu'il faut comprendre les objets mathématiques non pas comme des entités mais plutôt comme des opérations, des méthodes de construction. Le nombre entier, par exemple, n'existe qu'en vertue de la relation d'ordre et de l'opération qui nous permet de construire la suite de ces nombres. Il n'est au fond que cette relation d'ordre, indépendamment de ce qui est relié. En ceci Cassirer rejoint parfaitement Dewey (dans "La logique") qui distingue les concepts génériques, ne faisant que regrouper un certain nombre d'éléments en vertu de leur similitude, comme les espèces animales (et dont l'exhaustivité est tout au plus contingente : on pourra toujours découvrir une nouvelle espèces d'oiseaux) des universaux (tel le triangle, dont on peut connaitre exhaustivement les éléments ou sous-classes par déduction). Dewey affirme que les universaux ne concernent pas le perçu ou les sensations directement, mais les opérations de l'enquête scientifique en tant que tel.
Ainsi le concept de "trois" ne correspond pas à une quelconque réalité, mais à la possibilité, étant donné son application supposée à une situation ("je me trouve devant trois objets"), de supprimer un élément pour n'en obtenir plus que deux, ou encore d'en ajouter un pour en avoir quatre (appliquant ainsi un nouveau concept à la nouvelle situation), de compter ces éléments, de les associer deux à deux aux éléments d'un autre groupe de même cardinal, et ainsi de suite. Toutes ces possibilités d'actions sont ordonnée par les mathématiques. Une théorie scientifique vaut alors non pas pour une description du réel, mais pour l'ordonnancement des actions possibles sur le monde et ce qu'on peut en attendre en retour (si je plonge un métal dans l'acide, il va se produire telle réaction, ...), et on peut concevoir les mathématiques (ou "la mathématique") comme en quelque sorte la théorie de la façon dont on peut construire des théories, on encore la théorie des théories possibles.
Dewey s'oppose donc à l'idée que les concepts mathématiques existeraient dans un "monde des idées", et seraient appliqués imparfaitement dans la réalité. Il n'existe pas d' "idée du cercle" mais plutôt des moyens de construire ou mesurer la "circularité" d'un objet. Rien ne s'oppose donc à l'idée que les concepts mathématiques n'existent "que dans nos têtes" pour peu qu'on rejette l'idée naïve qu'ils seraient issus de notre perception du monde : ils caractérisent en fait notre action sur le monde perçu. S'il est possible de retrouver à l'identique les raisonnements mathématiques, ce qui laisse penser que les objets mathématiques "pré-existent" à notre pensée, ce ne serait qu'en vertu des contraintes qui pèsent sur les façons d'interagir avec le monde, sur les différentes façons de réguler et d'ordonner nos pensées et nos actions.
L'élément qui me parait important est l'aspect dynamique de la conceptualisation (Nous avions évoqué dans un récent billet le fait que la logique constituait un idéal dénué de temporalité, d'où les paradoxes logiques). Pour dewey, les concepts ne portent pas sur une réalité statique mais sur des actions possibles. Pour Cassirer, ils sont des relations, mais au fond, la mise en relation d'objets est elle même un principe actif. On voit alors que l'écoulement du temps est un prérequis essentiel à la conceptualisation, qu'il ne peut exister de conceptualisation sans une dynamique, et que l'aspect statique et atemporel de nos théories et systèmes est au fond illusoires, puisque ces théories et systèmes dans leur ensemble ne sont destinés qu'à être appliqués à une réalité dont le temps s'écoule en permanence.
Commentaires
Pour Dewey le concept porte sur la façon d'ordonner notre interaction avec le monde. On applique un concept à une situation donnée qu'on se représente (on peu voir le concept comme une "mini-théorie scientifique" qu'on applique lors de la représentation), la représentation étant active. A mon avis il est possible de réinsérer cette activité de représentation du monde dans la phénoménologie, et on peut avoir l'intuition qu'un concept s'applique effectivement à une situation donnée. La possibilité d'avoir une intuition catégoriale ne remet donc pas en cause, il me semble, l'idée qu'un concept est avant tout une régulation de notre interaction avec le monde.